가중치 초기화: Xavier, He, 그리고 수렴의 비밀

지난 글에서 다층 퍼셉트론을 구현하고 학습시켰다. 그런데 신경망이 학습을 시작하기 전, 가중치의 초기값을 어떻게 설정하느냐가 학습 성패를 크게 좌우한다. 잘못된 초기화는 기울기 소실이나 폭발을 유발해 학습 자체를 불가능하게 만들 수 있다. 이번 글에서는 **가중치 초기화(Weight Initialization)**의 수학적 근거와 실무 사용법을 다룬다.

왜 초기화가 중요한가

신경망의 층을 통과하면서 활성값의 분산이 어떻게 변하는지 생각해보자. 입력 x의 분산이 σ²_x, 가중치의 분산이 σ²_w라면, 선형 조합 z = Σwᵢxᵢ의 분산은:

$$\text{Var}(z) = n \cdot \sigma^2_w \cdot \sigma^2_x$$

여기서 n은 입력 뉴런 수다. 층마다 n · σ²_w의 인수만큼 분산이 변한다.

import torch
import torch.nn as nn
import matplotlib.pyplot as plt

# 분산 변화 실험
def activation_variance_experiment(W_std):
    x = torch.randn(1000, 500)
    stds = [x.std().item()]
    for _ in range(10):
        W = torch.randn(500, 500) * W_std
        x = torch.tanh(x @ W)
        stds.append(x.std().item())
    return stds

# 너무 작은 std: 분산이 소멸
print(activation_variance_experiment(0.01))
# [1.00, 0.071, 0.014, 0.003, ...]  → 0으로 수렴

# 너무 큰 std: 포화 발생
print(activation_variance_experiment(1.0))
# [1.00, 1.00, 1.00, ...]  → tanh 포화 (기울기≈0)

제로 초기화의 치명적 문제

직관적으로 W=0으로 초기화하면 대칭적이어서 좋을 것 같지만, 실제로는 **대칭성 파괴(Symmetry Breaking)**가 일어나지 않아 학습이 불가능하다.

# 제로 초기화 실험
model_zero = nn.Linear(10, 10)
nn.init.zeros_(model_zero.weight)

# 순전파 후 역전파
x = torch.randn(5, 10)
loss = model_zero(x).sum()
loss.backward()

# 모든 뉴런이 동일한 기울기 → 영원히 동일하게 업데이트
print(model_zero.weight.grad[:3])
# 모든 행이 동일! — 사실상 뉴런이 1개인 것과 동일

모든 뉴런이 같은 출력을 내면 같은 기울기를 받고, 같은 방향으로 업데이트되어 영원히 구별되지 않는다. 이를 **대칭성 문제(Symmetry Problem)**라 한다.

Xavier / Glorot 초기화 (2010)

Xavier Glorot와 Yoshua Bengio가 제안한 초기화 방법이다. 각 층의 입력과 출력 분산이 같게 유지되도록 설계한다.

분산 유지 조건: σ²_w = 2 / (n_in + n_out)

균등 분포 버전: W ~ Uniform(-√(6/(n_in+n_out)), +√(6/(n_in+n_out)))

import torch.nn as nn

# Xavier 초기화 (Tanh, Sigmoid 활성화에 적합)
layer = nn.Linear(256, 128)
nn.init.xavier_uniform_(layer.weight)
nn.init.zeros_(layer.bias)

# 분산 확인
print(f"분산: {layer.weight.var().item():.6f}")
expected = 2 / (256 + 128)
print(f"기대값: {expected:.6f}")  # 매우 근사

Xavier 초기화는 **대칭 활성화 함수(Tanh, Sigmoid)**에 최적화되어 있다. 이 함수들은 입력이 작을 때 거의 선형 동작을 하므로 분산 유지 가정이 성립한다.

He / Kaiming 초기화 (2015)

Kaiming He가 제안한 방법으로, ReLU 활성화 함수에 최적화되어 있다.

ReLU는 음수 입력을 0으로 만들어 분산을 절반으로 줄인다. 이를 보정하기 위해:

σ²_w = 2 / n_in (fan_in 기준)

# He / Kaiming 초기화 (ReLU 활성화에 적합)
layer = nn.Linear(256, 128)
nn.init.kaiming_normal_(
    layer.weight,
    mode='fan_in',           # 입력 뉴런 수로 정규화
    nonlinearity='relu'      # ReLU 보정
)
nn.init.zeros_(layer.bias)

# 전체 모델에 적용: model.apply()
def init_he(m):
    if isinstance(m, (nn.Linear, nn.Conv2d)):
        nn.init.kaiming_normal_(
            m.weight, nonlinearity='relu'
        )
        if m.bias is not None:
            nn.init.zeros_(m.bias)

model = nn.Sequential(
    nn.Linear(784, 512), nn.ReLU(),
    nn.Linear(512, 256), nn.ReLU(),
    nn.Linear(256, 10),
)
model.apply(init_he)

실험으로 확인하기

import torch

def forward_pass_variance(model, n_samples=1000, n_features=100):
    x = torch.randn(n_samples, n_features)
    variances = [x.var().item()]
    for layer in model.children():
        x = layer(x) if not isinstance(layer, nn.ReLU) else layer(x)
        variances.append(x.var().item())
    return variances

# Xavier 초기화: 분산 안정
model_xavier = nn.Sequential(
    nn.Linear(100, 100), nn.Tanh(),
    nn.Linear(100, 100), nn.Tanh(),
    nn.Linear(100, 100), nn.Tanh(),
)
for m in model_xavier.modules():
    if isinstance(m, nn.Linear):
        nn.init.xavier_normal_(m.weight)

vars_xavier = forward_pass_variance(model_xavier)
print(vars_xavier)  # [1.0, ~1.0, ~1.0, ~1.0] — 안정!

특수 케이스

상황	권장 초기화
ReLU 계열 은닉층	He/Kaiming Normal (mode=fan_in)
Sigmoid/Tanh 은닉층	Xavier Uniform/Normal
트랜스포머	N(0, 0.02) 또는 Xavier
출력층	N(0, 0.01) 또는 Xavier
임베딩 층	N(0, 1) 또는 N(0, d_model^-0.5)

배치 정규화의 영향

배치 정규화(Batch Normalization)를 사용하면 초기화의 중요도가 크게 감소한다. 배치 정규화가 각 층의 입력을 자동으로 정규화하여 분산 문제를 완화하기 때문이다. 현대 딥러닝에서는 배치 정규화나 레이어 정규화를 함께 사용하는 경우가 많아, 초기화의 영향이 줄어들었다. 하지만 정규화 레이어가 없는 네트워크에서는 여전히 초기화가 매우 중요하다.

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지난 글: MLP: 다층 퍼셉트론으로 임의의 함수를 근사하다

다음 글: 배치 정규화: 내부 공변량 이동을 잡아라

읽어주셔서 감사합니다. 😊